Professor Paulo Basso: A Teoria da Relatividade Especial

O Espaço, o Tempo e a Matéria depois de Einstein

A partir dos trabalhos pioneiros de Einstein temos hoje uma nova visão dos conceitos de espaço e tempo. A teoria da relatividade é uma teoria para o espaço-tempo. Em 1905 Einstein publicou os primeiros dos seus célebres trabalhos. Adquiriu, posteriormente, notoriedade e a reputação de ter sido um dos maiores gênios da Humanidade.

Os trabalhos de Einstein provocaram uma revolução no conhecimento de que se dispunha, até então, do mundo Físico. Procuraremos explicar, resumidamente, as contribuições de Einstein que resultaram num melhor entendimento das propriedades do Espaço, do Tempo e da Matéria.

O espaço é o palco no qual ocorrem todos os fenômenos. A posição de um ponto do espaço é especificada através das suas coordenadas. E estas pressupõem a existência de um sistema de referência, ou um referencial. Três coordenadas (largura altura e profundidade) são necessárias, uma vez que o espaço é tridimensional Como as coordenadas dependem do referencial, elas não têm um caráter absoluto.

Para entendermos as teorias da relatividade formuladas por Einstein, imaginemos dois sistemas de referência (podemos imaginar dois sistemas de referencia como sendo duas naves espaciais). Consideremos agora esses referenciais (as duas naves espaciais) em movimento relativo. Um determinado fenômeno pode ser investigado através de medidas realizadas pelos observadores localizados em cada um dos referenciais.

O resultado das medidas levadas a efeito em referenciais diferentes (em cada uma das naves) permite-nos classificar as grandezas físicas em duas grandes categorias. As grandezas absolutas são aquelas para as quais as medidas levam sempre ao mesmo resultado (ao mesmo valor), independentemente dos referenciais. As grandezas relativas são aquelas, como o nome indica, que dependem do sistema de referencia. O tempo, por exemplo, é absoluto? Isto é, intervalos de tempo dependem do referencial escolhido? Astronautas em naves diferentes registram intervalos de tempo iguais para um mesmo evento? Até o trabalho de Einstein, o tempo era absoluto.

Na teoria da relatividade restrita, o objetivo de Einstein era o de descrever os fenômenos analisados a partir de sistemas de referência, que se movem com velocidade constante e em linha reta, um em relação ao outro. O fato de a velocidade destes ser constante, e o movimento retilíneo, fazia com que a sua teoria da relatividade fosse mais restrita (donde o nome). Dez anos depois Einstein elaborou uma teoria mais geral (sua Teoria Geral da Relatividade).

Na sua Teoria da Relatividade Geral, Einstein chamou a atenção para uma outra propriedade relevante do espaço físico. Trata-se da curvatura do espaço. Num espaço plano a menor distância entre dois pontos do espaço é aquela que é determinada por um segmento de reta que passa por esses pontos. Num espaço curvo isto não é verdade. A grande novidade introduzida por Einstein, nessa teoria mais geral, é que a mera presença de matéria no espaço muda as propriedades desse espaço. A matéria acarreta a existência de uma curvatura do espaço físico. É uma espécie de enrugamento do espaço. Através de conceitos geométricos, Einstein formulou uma nova Teoria da Gravitação. Estava aberto, com essa teoria, o caminho para previsões surpreendentes tais como a existência de Buracos Negros e a possibilidade de que o universo esteja em expansão. Tais previsões resultam da análise de soluções das equações de Einstein.

A questão central da teoria da relatividade pode ser concentrada em três indagações: Que grandezas físicas têm um caráter absoluto? Como se relacionam as diversas grandezas físicas relativas (as coordenadas e o tempo de ocorrência de um evento, por exemplo) medidas em cada um dos sistemas de referências? Como se escrevem as equações nos diversos referenciais? Einstein procurou dar respostas a estas questões a partir do que teria, na sua concepção, um caráter absoluto. Sugeriu que a velocidade da luz e a forma das equações teriam um caráter absoluto. Sua teoria tem como base para sua formulação esses dois pressupostos (ou postulados).

Einstein trouxe assim novas concepções para o mundo físico, as quais permitiram entender algumas propriedades do Tempo, do Espaço e da Matéria.

Postulados

A velocidade da luz no vácuo é independente do sistema de referência inercial e, conseqüentemente, assume o mesmo valor (c) para qualquer observador.

No primeiro postulado, sobre a constância da velocidade da luz, Einstein revela sua genialidade. Pois se tratava de algo completamente inusitado e pouco intuitivo, pois é completamente diferente do que se observa no cotidiano. Como se sabe hoje, em matéria de velocidade, isto se aplica apenas à velocidade da luz. Conferiu à velocidade da luz, e não ao tempo, um caráter absoluto.

Einstein percebeu, ao formular sua teoria, o que era essencial para a descrição da natureza. A partir dessas duas hipóteses é possível fazer uma série de deduções. Deduz-se, por exemplo, que existe uma relação entre as coordenadas de um evento e o tempo de ocorrência num e noutro sistema de referências. Assim, a teoria da relatividade restrita introduz uma interdependência entre espaço e tempo. Essa interdependência faz com que, para caracterizar um evento, tenhamos que determinar as três coordenadas e o tempo de ocorrência desse evento. É como se o espaço tivesse mais uma dimensão (a do tempo). Daí a idéia de um espaço-tempo quadridimensional que emerge naturalmente da teoria de Einstein. O tempo perde o caráter absoluto. O tempo no qual um evento ocorre é relativo. Conseqüentemente, é também relativo o conceito de simultaneidade.

Postulado da relatividade restrita

As leis físicas têm a mesma forma em todos os sistemas de referência inerciais.

Este último postulado estava igualmente presente na teoria da Relatividade de Galileu. Ele é bastante simples. As leis físicas são as mesmas em todos os sistemas de referência. De outra forma, teríamos um conjunto infinito de leis físicas, um para cada possível sistema.

As transformações de Lorentz

Nessa teoria não existe uma relação absoluta nem no espaço nem no tempo, mas existe uma relação absoluta entre o espaço e tempo. Dentro do contexto da teoria da Relatividade, o conceito de evento.

Consideramos x_1

como as quatro coordenadas de um evento no contínuo quadridimensional. Para relacionarmos as coordenadas dos eventos nos dois sistemas temos que recorrer à teoria de Einstein.

Para encontrarmos a transformação que nos leva de um conjunto de coordenadas de um evento (x, y, z, t)

para outro $(x^\prime, y^\prime, z^\prime, t^\prime)$

→ $(x^\prime, y^\prime, z^\prime,t^\prime)$

devemos procurar as transformações lineares mais gerais possíveis.

O fato de que essas transformações devem ser lineares decorre do seguinte:

1. Como o movimento do sistema B é retilíneo e uniforme, o movimento do sistema A (em relação a B) também é um movimento retilíneo e uniforme.

2. Para v = 0 a transformação se reduz à identidade.

3. Como a frente onda de um sinal luminoso se propaga com a mesma velocidade c, então se ele é enviado quando as origens coincidem e com t = t'= 0, podemos escrever para ela que:

Pode-se mostrar que a transformação linear mais geral, obedecendo a esses critérios, é a transformação de Lorentz especial:

$x^\prime = \frac{1}{\sqrt {1 - v^2 /c^2}}(x - vt)$

$t^\prime = \frac{1}{\sqrt {1 - v^2 /c^2}}(t - v/c^2 x)$

$y^\prime = y$

$z^\prime = z$

As transformações inversas são:

$x = \frac{1}{\sqrt {1 - v^2 /c^2 }}(x^\prime - vt^\prime)$

$x = \frac{1}{\sqrt {1 - v^2 /c^2}}(x^\prime - vt^\prime)$

$y^\prime = y$

$z^\prime = z$

Como era de se esperar, essas últimas são obtidas das anteriores pela substituição

v → -v

Finalmente, podemos ver que, para fenômenos tais que

$\frac{v} {c} \ll 1$

Podemos escrever, dentro de uma boa aproximação, utilizando as equações (1), (2), (3) e (4):

$x^\prime = x - vt$

$t^\prime = t$

Estas transformações são exatamente as transformações de Galileu.As transformações de Galileu são válidas como uma aproximação. No cotidiano é difícil perceber uma distinção entre elas. Isso explica por que só neste século viemos a nos dar conta de que as transformações de Galileu não são exatas.

Por exemplo, para um avião a jato que se move a 1080km/h (300m/s), v/c tem o valor

$\frac{v} {c} = \frac{{300}} {{300 \cdot 10^6 }} = 10^{ \cdot 6}$

A alteração dos resultados são, portanto, imperceptíveis no nosso cotidiano.

A contração de Lorentz

Uma das conseqüências mais surpreendentes da teoria de Einstein é a contração de Lorentz. O comprimento de uma barra em movimento é menor do que o comprimento da barra em repouso (houve sua contração).

Consideremos uma barra que está em repouso no sistema B ao longo do eixo x' e com suas extremidades em x'

e x'

. O comprimento da barra no sistema de repouso é chamado de comprimento próprio. O comprimento próprio é, então,

= x' -x'

Os pontos associados a x'

e x'

(5) no sistema A são x

(t) e x

(t) e eles coincidem com as extremidades da barra no mesmo instante t no sistema A. O comprimento no sistema A é definido como

= x (t) - x (t) (6)

Utilizando as transformações de Lorentz, obtemos:

$x^\prime_1 = \frac{1} {{\sqrt {1 - v^2 /c^2 } }}(x_1 - vt)$

$x^\prime_2 = \frac{1} {{\sqrt {1 - v^2 /c^2 } }}(x_2 - vt)$

E portanto de (7) e (8) em (5):

$x^\prime_2 - x^\prime_1 = \frac{1} {{\sqrt {1 - v^2 /c^2 } }}(x_2 - x_1 )$

Donde

$= \sqrt {1 - v^2 /c^2 }$

e, conseqüentemente, o comprimento da barra é menor do que o seu comprimento próprio.

Esse fato é conhecido como contração de Lorentz.

Dilatação do Tempo

Um outro efeito que decorre da teoria da Relatividade é a dilatação do tempo. Se no sistema B de repouso um determinado evento ocorreu, num mesmo lugar

= x

Num intervalo de tempo

$\Delta t_0 = t_2 - t_1$